题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若a=1，求函数f（x）在 $数学公式$ 上的值域．

解：（1）当a＞0时，设-1＜x₁＜x₂＜1
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵x₁-1＜0，x₂-1＜0，a（x₁-x₂）＜0
∴ $\text{[math]}$ ＞0，得f（x₁）＞f（x₂），函数f（x）在（-1，1）上是减函数；
同理可得，当a＜0时，函数f（x）在（-1，1）上是增函数．
（2）当a=1时，由（1）得f（x）= $\text{[math]}$ 在（-1，1）上是减函数
∴函数f（x在 $\text{[math]}$ 上也是减函数，其最小值为f（ $\text{[math]}$ ）=-1，最大值为f（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
由此可得，函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的值域为[-1， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）根据单调性的定义，进行作差变形整理，可得当a＞0时，函数f（x）在（-1，1）上是减函数，当a＜0时，函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（2）根据（1）的单调性，算出函数在在 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值，由此即可得到f（x）在 $\text{[math]}$ 上的值域．
点评：本题给出分式函数，讨论了函数的单调性并求函数在闭区间上的值域，着重考查了函数单调性的判断与证明和函数的值域等知识，属于基础题．