题目内容

已知f（x）= $数学公式$ （x∈（0，+∞）），存在实数a，b，使f（x）满足：（i）f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）是增函数；
（ii）f（x）的最小值是5．
（1）求a，b的值及f（x）的解析式；
（2）（理科）求y=f（x）的图象与三直线x=1，x=e及y=0所围成的图形面积；
（3）若函数F（x）=f（x）-c•cosx，当 $数学公式$ 时是单调减函数，求实数c的取值范围．

解：（1）由f（x）= $\text{[math]}$ =x+ $\text{[math]}$ +a得， $\text{[math]}$ ，
∵f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）是增函数，
∴函数f（x）在x=2出取得极小值，也是函数的最小值，
则f′（2）=0，∴ $\text{[math]}$ =0，解得b=4，
又∵f（2）=5，∴ $\text{[math]}$ =5，解得a=1，
∴ $\text{[math]}$ ；
（2）由题意得， $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ；
（3）由题意知，F（x）=f（x）-c•cosx在 $\text{[math]}$ 上是减函数，
∴ $\text{[math]}$ 对于 $\text{[math]}$ 恒成立，
则 $\text{[math]}$ ，
当x= $\text{[math]}$ 时有 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将解析式化简后求出 $\text{[math]}$ ，由条件得f′（2）=0和f（2）=5，求出a和b，再求出函数的解析式；
（2）由（1）和定积分求出所围成的图形面积即可；
（3）将条件转化为： $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 恒成立，再分离出常数c，求出对应函数的最小值，即求出c的范围．
点评：本题考查了导数与函数的单调性、极值和最值的关系，以及定积分求图形的面积，函数恒成立问题的转化，和分离常数法，考查了的范围较广，属于中档题．