Question

已知f（x）=

1，x＜0 2，x≥0

，g（x）=

3f(x-1)-f(x-2)

2

．
（1）当1≤x＜2时，求g（x）；
（2）当x∈R时，求g（x）的解析式，并画出其图象；
（3）求方程x^f[g（x）]=2g[f（x）]的解．

Answer 1

分析：（1）根据自变量的范围选择对应的解析式代入求解，（2）先求出解析式，再画函数图象（分段函数），（3）先将方程化简一下，再求解．

解答：解：（1）当1≤x＜2时，x-1≥0，x-2＜0，
故g(x)=

6-1

2

=

5

2

．
（2）由（1）知，当1≤x＜2时，g(x)=

6-1

2

=

5

2

．
当x＜1时，x-1＜0，x-2＜0，故g(x)=

3-1

2

=1．
当x≥2时，x-1＞0，x-2≥0，故g(x)=

6-2

2

=2．
所以当x∈R时，g（x）的解析式为g(x)=

1，x＜1 5 2 ，1≤x＜2 2，x≥2

．
其函数图象为
（3）∵g（x）＞0，∴f[g（x）]=2，x∈R
g[f(x)]=

g(1)= 5 2 ，x＜0 g(2)=2，x≥0

所以方程x^f[g（x）]=2g[f（x）]为x2=

5，x＜0 4，x≥0

解得x=-

5

，或x=2．

点评：本题考察函数解析式的求解、分段函数图象的画法以及方程的求解，属中档题．此题环环相扣，解答时要体会此题设计的巧妙之处．