题目内容

椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 $数学公式$ ．点P（1， $数学公式$ ）、A、B在椭圆E上，且 $数学公式$ $数学公式$ =m $数学公式$ （m∈R）
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）当m=-3时，求△PAB的重心坐标．
（Ⅲ）证明直线AB的斜率为定值，并求出这个定值．

（Ⅰ）解：设椭圆方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）
∵椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，点P（1， $\text{[math]}$ ）在椭圆E上，
∴e²=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ =1；
（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =m $\text{[math]}$
得（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1， $\text{[math]}$ ），即 $\text{[math]}$
∵点P（1， $\text{[math]}$ ），），m=-3，于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+ $\text{[math]}$ =3+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0），即原点是△PAB的重心；
（Ⅲ）证明：∵ $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ =1
∴两式相减得k_AB= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，即直线AB的斜率为定值，定值为- $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）设椭圆方程，利用椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，点P（1， $\text{[math]}$ ）在椭圆E上，建立方程求得几何量，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设A、B的坐标，由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =m $\text{[math]}$ 得坐标之间的关系，即可求得△PAB的重心坐标；
（Ⅲ）利用点差法，结合（Ⅱ）的结论，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查点差法求直线的斜率，正确运用椭圆方程是关键．