Question

【题目】已知函数，(是自然对数的底数).

（1）求的单调区间；

（2）若函数，证明：有极大值，且满足.

Answer 1

【答案】（1）函数的减区间为，增区间为.（2）证明见解析

【解析】

（1）直接求出函数的导函数，令，解得，即可求出函数的单调区间；

（2）首先求出的导函数，设，再对求导，说明其单调性，根据函数零点存在性定理可得在上存在极大值；

解：（1），设，，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增. 即函数的减区间为；增区间为.

（2）因为，

设，且

∵， 在时，，所以在上单调递增，

∴.

∴，在上是单调递增，∴没有极值.

令，解得. 在时，，单调递减，

∴，. 由根的存在性定理：设，使得：，

即.

∵在，，∴单调递增； 在，

，∴单调递减；∴有极大值.∵有. 又∵，

∴，

.

综上可得：函数有极大值，且满足.