Question

18．为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员．从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]，并得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40）的人数；
（Ⅱ）在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由小矩形的面积等于频率．故面积和为1．即可求出x；
（Ⅱ）用分层抽取的方法从中抽取10名志愿者，则年龄低于35岁的人数有6（人），年龄不低于35岁的人数有4（人），依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可．

解答 解：（Ⅰ）因为小矩形的面积等于频率．
所以（0.01+0.02+0.04+x+0，07）×5=1求得x=0.03．
所以这600名志愿者中，年龄在[30，40]人数为600×（0.07+0.05）×5=390（人）．
（Ⅱ）用分层抽取的方法从中抽取10名志愿者，则年龄低于35岁的人数有100×（0.01+0.04+0.07）×5=6（人），
年龄不低于35岁的人数有100×（0.06+0.02）×5=4（人）
依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，则$P（{X=0}）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}，P（{X=1}）=\frac{C_4^2C_6^2}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{2}$，$P（{X=2}）=\frac{C_4^2C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}，P（{X=3}）=\frac{C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$．
所以X的分布列为

P	0	1	2	3
X	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

数学期望为$E（X）=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}=\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了统计、离散型随机变量的概率及分布列．属于中档题．