Question

已知函数f（x）=

5x-1

5x+1

．
（1）写出f（x）的定义域；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）求函数f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）由于 5^x＞0 恒成立，故函数函数f（x）=

5x-1

5x+1

 恒有意义．
（2）由于f（-x）=

5-x-1

5-x+1

=

1-5x

1+5x

=-

5x-1

5x+1

=-f（x），所以f（x）为奇函数．
 （3）f（x）变形为 1-

2

5x+1

，根据不等式的性质求得0＜

2

5x+1

＜2，进而可得-1＜1-

2

5x+1

＜1，得到函数的值域．

解答：解：（1）由于 5^x＞0 恒成立，故函数函数f（x）=

5x-1

5x+1

 恒有意义，故此函数的定义域为 R．
（2）由于f（-x）=

5-x-1

5-x+1

=

1-5x

1+5x

=-

5x-1

5x+1

=-f（x），所以f（x）为奇函数．
（3）f（x）=

5x+1-2

5x+1

=1-

2

5x+1

，因为5^x＞0，所以，5^x+1＞1，即0＜

2

5x+1

＜2，
即-2＜-

2

5x+1

＜0，即-1＜1-

2

5x+1

＜1，所以，f（x）的值域为（-1，1）．

点评：本题考查指数函数的单调性及特殊点，判断函数的奇偶性，求函数的定义域、值域的方法，不等式性质的应用，
函数解析式的变形是解题的关键．