Question

2．已知正项等比数列{a_n}前n项和为S_n，且满足S₃=$\frac{7}{2}$，a₆，3a₅，a₇成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求log₂a₁+log₂a₃+log₂a₅+…+log₂a₂₅的值．
（3）设b_n=a_n+log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组求出首项和公式，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）利用对数性质和等差数列前n项和公式能求出log₂a₁+log₂a₃+log₂a₅+…+log₂a₂₅的值．
（3）由b_n=a_n+log₂a_n=2^n-2+n-2，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵正项等比数列{a_n}前n项和为S_n，且满足S₃=$\frac{7}{2}$，a₆，3a₅，a₇成等差数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=\frac{7}{2}}\\{6{a}_{1}{q}^{4}={a}_{1}{q}^{5}+{a}_{1}{q}^{6}}\end{array}\right.$，且q＞0，
解得q=2，${a}_{1}=\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
（2）log₂a₁+log₂a₃+log₂a₅+…+log₂a₂₅
=$lo{g}_{2}{2}^{-1}+lo{g}_{2}2+lo{g}_{2}{2}^{3}$+…+$lo{g}_{2}{2}^{23}$
=-1+1+3+5+…+23
=$\frac{13}{2}$（-1+23）
=143．
（3）∵b_n=a_n+log₂a_n=2^n-2+n-2，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=2^-1+2⁰+2+2²+…+2^n-2+（1+2+3+…+n）-2n
=$\frac{\frac{1}{2}（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$-2n
=2^n-1+$\frac{{n}^{2}-3n}{2}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式及数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列性质及分组求和法的合理运用．