题目内容

某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别为p₁，p₂，p₃，又知p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且p₂=p₃．
（Ⅰ）求p₁，p₂，p₃的值；
（Ⅱ）记λ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求λ的分布列；
（Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值．

解：（Ⅰ）∵p₁+p₂+p₃=1，p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且p₂=p₃，
∴p₁+p₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴p₃= $\text{[math]}$ ，∴p₁= $\text{[math]}$
（Ⅱ）λ的可能取值为0，100，200，300，400，则P（λ=0）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；P（λ=10）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
P（λ=20）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；P（λ=30）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
P（λ=40）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴λ的分布列为

λ	0	100	200	300	400
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（Ⅲ）销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值Eλ=0× $\text{[math]}$ +100× $\text{[math]}$ ++200× $\text{[math]}$ +300× $\text{[math]}$ +400× $\text{[math]}$ =240
分析：（Ⅰ）利用p₁+p₂+p₃=1，p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且p₂=p₃，可求p₁，p₂，p₃的值；
（Ⅱ）λ的可能取值为0，100，200，300，400，求出相应的概率，可得λ的分布列；
（Ⅲ）利用期望公式可求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值．
点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算概率是关键．