Question

7．已知函数f（x）=x²（x-a），若a为正常数当x∈（0，1）时函数f（x）的图象上任意一点处的切线斜率k≥-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数的导数，由题意可得当x∈（0，1）时，3x²-2ax≥-1恒成立，运用参数分离和基本不等式即可得到右边的最小值，即可得到a的范围．

解答 解：函数f（x）=x²（x-a）的导数为
f′（x）=2x（x-a）+x²=3x²-2ax，
由题意可得当x∈（0，1）时，3x²-2ax≥-1恒成立，
即有2a≤3x+$\frac{1}{x}$，
由3x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{3}$，当且仅当3x=$\frac{1}{x}$即有x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$∈（0，1）时，取得等号．
即有2a≤2$\sqrt{3}$，
则0＜a≤$\sqrt{3}$，
即有a的取值范围是（0，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查导数的几何意义，同时考查不等式恒成立问题转化为求最值，运用基本不等式是解题的关键．