Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0φ＜$\frac{π}{2}$），且f（x）的最小正周期为π，f（0）=$\sqrt{2}$+1，f（x）的最大值为3
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）求f（x）的最小值，并求出f（x）取最小值时自变量x的集合；
（3）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由最大值为3可得A=2，再由周期可得ω=2，再利用f（0）=$\sqrt{2}$+1可得φ值，可得解析式；
（2）当sin（2x+$\frac{π}{4}$）=-1即2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$时f（x）的最小值，解此时的x即可；
（3）解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得函数的单调递减区间．

解答 解：（1）∵f（x）的最大值为3，∴A+1=3，解得A=2，
又∵f（x）的最小正周期为π，∴$\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=2，
又∵f（0）=$\sqrt{2}$+1，∴2sinφ+1=$\sqrt{2}$+1，即sinφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$
∴f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1
（2）当sin（2x+$\frac{π}{4}$）=-1时，f（x）取最小值2×（-1）+1=-1，
此时2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∴f（x）的最小值为-1，此时x的自变量的集合为{x|x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}；
（3）解2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z

点评 本题考查三角函数的解析式求解和单调性以及最值，属中档题．