Question

8．若a＞b＞0，则$\sqrt{2}$a³+$\frac{3}{ab-{b}^{2}}$的最小值为10．

Answer 1

分析 先求出ab-b²取最大值时的a，b的关系，集合基本不等式的性质求出即可．

解答 解：ab-b²=b（a-b）≤$\frac{{a}^{2}}{4}$，
当且仅当a=2b时取等号，
$\sqrt{2}$a³+$\frac{3}{ab{-b}^{2}}$≥$\sqrt{2}$a³+$\frac{12}{{a}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a³+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a³+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{a}^{2}}$
≥5$\root{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×4×4×4}$
=5$\root{5}{32}$=10，
故答案为：10．

点评 本题考查了基本不等式的性质，先求出ab-b²取最大值时的a，b的关系是解题的关键，本题是一道中档题．