Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；
（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；
则 =（1，1，0）， =（0，0，1）， =（1，﹣1，0），
所以 =0， =0；
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
故PQ⊥平面DCQ，
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），
=（1，0，0）， =（﹣1，2，﹣1）；
设 =（x，y，z）是平面的PBC法向量，
则 即 ，
因此可取 =（0，﹣1，﹣2）；
设 是平面PBQ的法向量，则 ，
可取 =（1，1，1），
所以cos＜ ， ＞=﹣ ，
故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣ ．

【解析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；
（Ⅰ）根据坐标系，求出 、 、 的坐标，由向量积的运算易得 =0， =0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、 、 的坐标，进而求出平面的PBC的法向量 与平面PBQ法向量 ，进而求出cos＜ ， ＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．