Question

【题目】设数列{an}的首项a1为常数，且an+1=3n﹣2an ， （n∈N*）
（1）证明：{an﹣ }是等比数列；
（2）若a1= ，{an}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（3）若{an}是递增数列，求a1的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1=3n﹣2an，（n∈N*），

∴ = =﹣2，

∴数列{an﹣ }是等比数列

（2）解：{an﹣ }是公比为﹣2，首项为a1﹣ = 的等比数列．

通项公式为an= +（a1﹣ ）（﹣2）n﹣1= + ×（﹣2）n﹣1，

若{an}中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1=an+an+2，

即 = + + ，

解得n=4，即a4，a5，a6成等差数列

（3）解：如果an+1＞an成立，

即 + ＞ +（a1﹣ ）（﹣2）n﹣1对任意自然数均成立．

化简得 ＞ ×（﹣2）n，

当n为偶数时 ﹣ ，

∵p（n）= ﹣ 是递减数列，

∴p（n）max=p（2）=0，即a1＞0；

当n为奇数时，a1 + ，

∵q（n）= + 是递增数列，

∴q（n）min=q（1）=1，即a1＜1；

故a1的取值范围为（0，1）

【解析】（1）由于an+1=3n﹣2an ， （n∈N*），可得 = =﹣2，即可证明．（2）{an﹣ }是公比为﹣2，首项为a1﹣ = 的等比数列．通项公式为an= + ×（﹣2）n﹣1 ， 若{an}中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1=an+an+2 ， 代入解出即可得出．（3）如果an+1＞an成立，即 + ＞ +（a1﹣ ）（﹣2）n﹣1对任意自然数均成立．化简得 ＞ ×（﹣2）n ， 对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．