Question

(13分)如图，在边长为2的菱形中，，是和的中点.（Ⅰ）求证：平面 _;
（Ⅱ）若,求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

(Ⅰ)证明:见解析；(Ⅱ) 与平面所成的角的正弦值为。

(I)根据线面平行的判定定理，只需证明EF//PB即可.
（II），取BC的中点M，连接PM，AM，由题目条件可知是正三角形，所以,所以就是直线PA与平面PBC所成的角，然后解三角形即可求出此角.
(Ⅰ)证明:∵ 是和的中点.
∴EF//PB………………………………………2
又∵EF平面PBC,PB平面PBC……………4
∴平面 _;………………………….5
(Ⅱ)解:过A作AH⊥BC于H,连结PH………………….6
∵, AH平面ABCD
PC⊥AH,又PC∩BC=C
AH⊥平面PBC…………………………………………8
∠APH为与平面所成的角.----------------9
边长为2菱形中，∴ABC为正三角形, 又AH⊥BC
∴H为BC中点,AH=,……………………………10
PC=AC=2∴PA=…………………………………11
∴sin∠APH=
故与平面所成的角的正弦值为………………13