Question

【题目】已知函数，，其中为自然对数的底数，.

（1）求证：；

（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围；

（3）若存在，使，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）；

（3）或.

【解析】

（1）对利用导数研究函数的单调性及最小值，进而证明不等式；

（2）由题意得，对分成三种情况讨论，进而利用参变分离，构造新函数，利用导数研究新函数的最值，从而得到的取值范围；

（3）设，题设等价于函数有零点时的的取值范围，先对函数进行求导得，再对分成三种情况进行研究函数的零点.

解：（1）令，得，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在处取得最小值，因为，

所以.

（2）由题意，得，

当，不等式显然成立，此时；

当时，，所以，

当时，，所以，

记，，

∴在区间和上为增函数，和上为减函数.

∴当时，，

当时，，

综上所述的取值范围为.

（3）设，题设等价于函数有零点时的的取值范围.

当，，恒成立，

所以在单调递增，

，

若，则，

只需，则，则，

所以有零点.

当时，，对恒成立，

所以无零点，不成立.

当时，，得，

则时，所以在单调递减；

时，所以在在单调递增，

所以，

①时，，，

又，

所以有零点；

②时，，

所以有零点；

③时，，，

所以无零点，不成立.

综上，的取值范围是或.