Question

已知函数f（x-2）=ax²-（a-3）x+a-2（a为负整数）的图象经过点（m-2，0），m∈R，设 g（x）=f[f（x）]，F（x）=p•g（x）+f（x），问是否存在实数p（p＜0）使得 F（x）在区间 （-∞，f（2）） 上是减函数，且在区间 （f（2），0）上是增函数？并证明你的结论．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x-2）=ax²-（a-3）x+a-2（a为负整数）的图象经过点（m-2，0），可得a的范围，进而根据a为负整数，可得a的值，求出F（x）的解析式，进而利用导数法，可得函数的单调性，进而求出P值．

解答：解：存在，证明如下：
∵f（x-2）=ax²-（a-3）x+a-2
∴f（x）=a（x+2）²-（a-3）（x+2）+a-2
∵函数的图象经过点（m-2，0），
∴am²-（a-3）m+a-2=0
故△=（a-3）²-4a（a-2）≥0
即3a²-2a-9≤0
解得

1-2 7

3

≤a≤

1+2 7

3

又∵a为负整数
∴a=-1
∴f（x）=-（x+2）²+4（x+2）-3=-x²+1
∴f（2）=-3
∴g（x）=f[f（x）]=-（-x²+1）²+1=-x⁴+2x²，
则F（x）=p•g（x）+f（x）=-px⁴+（2p-1）x²+1
则F′（x）=-4px³+（4p-2）x=x[-4px²+（4p-2）]
∵p＜0
∴-4px²+（4p-2）=0存在两个互为相反的根-n，n
令F′（x）=0，则x=-n，或x=0，或x=n
当x＜-n时，F′（x）＜0，F（x）为减函数，
当-n＜x＜0时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，
故-n=-3，即n=3
∴p=-

1

16

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数解析式的求法，本题的综合性强，运算强度大，属于难题．