Question

已知函数f（x+2）是偶函数，x＞2时f′（x）＞0恒成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），且f（4）=0，则不等式（x+2）f（x+3）＜0的解集为

 

．

Answer 1

分析：由题意可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称．f（x）在（2，+∞）上是增函数，在（-∞，-2）上是减函数，f（4）=f（0）=0．画出函数f（x）的单调性示意图，由不等式（x+2）f（x+3）＜0，可得①

x+2＞0 f(x+3)＜0

，或 ②

x+2＜0 f(x+3)＞0

．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：由于函数f（x+2）是偶函数，故函数f（x）的图象
关于直线x=2对称．
∵x＞2时f′（x）＞0恒成立，
故函数f（x）在（2，+∞）上是增函数，
在（-∞，-2）上是减函数．
再根据f（4）=0，可得f（0）=0．
画出函数f（x）的单调性示意图，如图所示：
故由不等式（x+2）f（x+3）＜0，可得
①

x+2＞0 f(x+3)＜0

，或 ②

x+2＜0 f(x+3)＞0

．
解①可得

x＞-2 0＜x+3＜4

，-2＜x＜1．
解②可得

x＜-2 x+3＜0 ，或x+3＞4

，x＜-3．
综上可得，不等式的解集为（-2，1）∪（-∞，-3），
故答案为：（-2，1）∪（-∞，-3）．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，不等式的解法，体现了转化以及数形结合的数学思想，
属于中档题．