Question

【题目】已知双曲线过点 且与椭圆 有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点 在双曲线上， 为左，右焦点，且 ，试求△ 的面积.

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆方程可化为 ，焦点在 轴上，且 ，

故设双曲线方程为 ，则有 解得 ，

所以双曲线的标准方程为

（2）解：因为点 在双曲线上，且 ，所以点 在双曲线的右支上，

则有 ，故 ， ，

又 ， 因此在△ 中，

，所以 ，

【解析】（1）先将椭圆方程转化为标准形式，判断其焦点位置及c的值，然后根据椭圆焦点所在位置设出相应的双曲线方程并将点（3，-2）代入，得到一个关于a，b的方程，与a2+b2=c2联立解出a2，b2即可；（2）由题意可知点 M 在双曲线的右支上，则根据双曲线定义可知-=2a，与=2联立可解出、，在中，=2c，根据余弦定理的逆定理可求出cos，根据同角基本关系式：sin2+cos2=1进而可求出sin，根据S=sin即可求解.