Question

【题目】椭圆 （a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．
（1）求 的值；
（2）若椭圆的离心率e满足 ≤e≤ ，求椭圆长轴的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）由OP⊥OQ 可得 x 1x 2+y1 y 2=0

∵y1=1﹣x1，y2=1﹣x2

∴2x1x2﹣（x1+x2）+1=0①又将y=1﹣x代入 可得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0

∵△＞0∴ ，

代入①化简得 ．

（2）∵

∴

∴

又由（1）知

∴ ∴ ，

∴长轴 2a∈[ ]．

【解析】（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2）。由P,Q分别在椭圆上，直线上，OP⊥OQ联立方程组即可求出答案。
（2）由且求出a的范围。