Question

19．设正实数x，y满足xy=1，求函数f（x，y）=$\frac{x+y}{[x][y]+[x]+[y]+1}$的值域．（其中[x]表示不超过x的最大整数）

Answer 1

分析 当x=y=1时，f（x，y）=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；当x≠y时，不妨设x＜y，从而可得f（x，y）=$\frac{x+y}{[y]+1}$，从而可得当y∈[n，n+1）（n∈N^*且n＞1）时，f（x，y）=$\frac{\frac{1}{y}+y}{n+1}$，从而可得$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{n}{n+1}$≤f（x，y）＜$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+1，令y=$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{x}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）}$，从而求导可得y=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）}$在（1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）上单调递减，在（1+$\sqrt{2}$，+∞）上单调递增；
从而求函数的值域．

解答 解：当x=y=1时，f（x，y）=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；
当x≠y时，不妨设x＜y，
又∵xy=1，∴x＜1＜y，∴[x]=0，
∴f（x，y）=$\frac{x+y}{[y]+1}$，
当y∈（1，2）时，
f（x，y）=$\frac{\frac{1}{y}+y}{2}$，
∵$\frac{1}{y}$+y在（1，2）上单调递增，
∴1＜$\frac{\frac{1}{y}+y}{2}$＜$\frac{5}{4}$；
当y∈[n，n+1）（n∈N^*且n＞1）时，
f（x，y）=$\frac{\frac{1}{y}+y}{n+1}$，
∵$\frac{1}{y}$+y在[n，n+1）上单调递增，
∴$\frac{1}{n}$+n≤$\frac{1}{y}$+y＜$\frac{1}{n+1}$+n+1，
则$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{n}{n+1}$≤f（x，y）＜$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+1，
设y=$\frac{1}{x（x+1）}+\frac{x}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）}$，
y′=$\frac{2x•x（x+1）-（（{x}^{2}+1）（2x+1））}{{x}^{2}（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}-2}{{x}^{2}（x+1）^{2}}$，
则y=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x+1）}$在（1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）上单调递减，在（1+$\sqrt{2}$，+∞）上单调递增；
当n=2时，$\frac{1}{2•3}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{6}$，当n=3时，$\frac{1}{3•4}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{6}$；
故$\frac{1}{n（n+1）}$+$\frac{n}{n+1}$≥$\frac{5}{6}$；
则y=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$+1在（0，+∞）上是减函数；
故$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+1≤$\frac{5}{4}$；
故$\frac{5}{6}$≤f（x，y）＜$\frac{5}{4}$；
故函数f（x，y）=$\frac{x+y}{[x][y]+[x]+[y]+1}$的值域为[$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{4}$）∪{$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的值域的求法，属于中档题．