题目内容

设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1和F2，长轴是A1A2，P是椭圆上异于A1、A2的点，考虑如下四个命题：
①|PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|；        
②a-c＜|PF1|＜a+c；
③若b越接近于a，则离心率越接近于1；
④直线PA1与PA2的斜率之积等于-
b2
a2
．
其中正确的命题是（　　）
A、①②④B、①②③
C、②③④D、①④
分析：①由椭圆的定义和性质可得：|PF1|+|PF2|=2a，|A1F1|+|A1F2|=a-c+a+c=2a，即可判断出；
②由|A1F1|＜|PF1|＜|AF2|，即可判断出；
③由离心率计算公式e=
c
a
=
1-
b2
a2
可知：b越接近于a，则离心率越接近于0，即可判断出；
④设P（x，y）（x≠±a），由
x2
a2
+
y2
b2
=1可得y2=b2(1-
x2
a2
)=
b2
a2
(a2-x2)，再利用斜率计算公式即可得出．
解答：解：①由椭圆的定义和性质可得：|PF1|+|PF2|=2a，|A1F1|+|A1F2|=a-c+a+c=2a，
∴|A1F1|+|A1F2|=|PF1|+|PF2|，∴|PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|，因此正确；
②∵|A1F1|＜|PF1|＜|AF2|，∴a-c＜|PF1|＜a+c，因此正确；
③由离心率计算公式e=
c
a
=
1-
b2
a2
可知：b越接近于a，则离心率越接近于0，因此③不正确；
④设P（x，y）（x≠±a），由
x2
a2
+
y2
b2
=1可得y2=b2(1-
x2
a2
)=
b2
a2
(a2-x2)，
则kPA1•kPA2=
y-0
x+a
•
y-0
x-a
=
y2
x2-a2
=
b2
a2
(a2-x2)
x2-a2
=-
b2
a2
，因此④正确．
综上可知：正确的是①、②、④．
故选：A．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于难题．
练习册系列答案
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设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，C，原点O到直线AF1的距离为
1
3
|OF1|．
（Ⅰ）证明a=
2
b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命题成立：设圆x2+y2=t2上任意点M（x0，y0）处的切线交椭圆于Q1，Q2两点，则OQ1⊥OQ2．
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（　　）
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2
设P是椭圆
x2a2
+y2=1   (a＞1)短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．
（2012•即墨市模拟）设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（　　）
设-1＜a＜-
1
2
，则椭圆
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1的离心率的取值范围是（　　）

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