Question

【题目】椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴两端点为B1（0，﹣1）、B2（0，1），离心率e=，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B1P和B2P分别与x轴相交于M，N两点，

（1）求椭圆的方程和的值;

（2）若点坐标为（1，0），过点的直线与椭圆相交于两点,试求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由b=1，离心率e，结合a2﹣b2=c2，求得a和b的值，可得椭圆方程，设点P（x0，y0），则直线B1P方程为y=x﹣1，y=0，得xM=，同理可得xN=，即可得解；

（2）设直线AB的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，由韦达定理求得丨y1﹣y2丨=，S=丨MN丨丨y1﹣y2丨，由函数的单调性即可求得△ABN面积的最大值．

解：（1）由 、,知,

又,所以,

则,所以椭圆的方程为,

设点,则直线方程为,

令得,

同理可得,.

（2）当点 坐标为时,点,,

设直线的方程为,,,

代入方程得,则

,

,

因为,所以,

因此当,即直线的方程为时,

面积的最大值是.