Question

【题目】数列{an}中，a1=1，an﹣an+1=anan+1 ， n∈N* ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）Sn为{an}的前n项和，bn=S2n﹣Sn ， 求bn的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，an﹣an+1=anan+1，n∈N*．∴ =1，

∴数列 是等差数列，公差为1，首项为1．

∴ =1+（n﹣1）=n，可得an=

（2）解：由（1）可得：Sn=1+ +…+ ．

∴bn=S2n﹣Sn= +…+ ．

∴bn+1﹣bn= +…+ + + ﹣（ +…+ ）

= + ﹣ = ﹣ ＞0，

∴数列{bn}单调递增，∴bn的最小值为b1=

【解析】（1）由a1=1，an﹣an+1=anan+1 ， n∈N* ． 可得 =1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：bn=S2n﹣Sn= +…+ ．再利用数列的单调性即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．