题目内容

设Sn为正项数列{an}的前n项和，且．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设，且数列{bn}的前n项和Tn，证明：．
【答案】分析：（I）再写一式，两式相减，结合{an}是正项数列，可得数列是等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（II）确定数列的通项，利用基本不等式，结合裂项求和，即可证得结论．
解答：（I）解：∵
∴（n≥2）
两式相减可得+（an-an-1）
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵{an}是正项数列，∴an-an-1=2（n≥2）
∵
∴a1=3
∴an=3+2（n-1）=2n+1；
（II）证明：∵＞0，＞0，且
∴=+＞=2
∴Tn＞2n
∵bn=+=2+2（）
∴Tn=2n+2（）+2（）+…+2（）=2n+2（）＜2n+
∴．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2-（an+2）Sn+1=0，1-Sn=anbn（n∈N*）．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）求{an}的通项公式；
（Ⅲ）若正项数列{cn}满足cn≤
a
1+(bn-1)a
(n∈N*，0＜a＜1)，求证：
n
k=1
ck
k+1
＜1．
已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．正项数列{bn}满足bn2=anan+1（n∈N*）．若 {bn}是公比为
2
的等比数列
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a=
2
，Sn为{an}的前n项和，记Tn=
17Sn-S2n
an+1
设Tn0为数列{Tn}的最大项，求n0．
（2008•杨浦区二模）（理）已知向量
a
=(x2+1，-x)，
b
=(1，2
n2+1
) （n为正整数），函数f(x)=
a 
• 
b 
，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}，对任意正整数n，都有bn•（4an2-5）=1成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，求
lim
n→∞
Sn；
（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、An（n，an）、…中是否存在两点Ai，Aj（i，j为正整数）使直线AiAj的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由．
若函数f(x)=
1-x
mx
+lnx(m∈R+)
（1）若f（x）在[1，+∞）上为增函数，求m的范围．
（2）当m=1时，若a＞b＞1，比较f（aabb4a）与f[（a+b）a+b]的大小，并说明理由．
（3）当m=1时，设{an}为正项数列，且n≥2时[f′（an）•f′（an-1）+
an+an-1-1
a
2
n
•
a
2
n-1
]•an2=q，（其中q≥2010），an的前n项和为Sn，bn=
n
i=1
Si+1
SI
，若bn≥2011n恒成立，求q的最小值．
若函数
（1）若f（x）在[1，+∞）上为增函数，求m的范围．
（2）当m=1时，若a＞b＞1，比较f（aabb4a）与f[（a+b）a+b]的大小，并说明理由．
（3）当m=1时，设{an}为正项数列，且n≥2时[f′（an）•f′（an-1）+]•an2=q，（其中q≥2010），an的前n项和为Sn，，若bn≥2011n恒成立，求q的最小值．

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