题目内容

已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．正项数列{bn}满足bn2=anan+1（n∈N*）．若 {bn}是公比为
2
的等比数列
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a=
2
，Sn为{an}的前n项和，记Tn=
17Sn-S2n
an+1
设Tn0为数列{Tn}的最大项，求n0．
分析：（1）由题意可得
bn+12
bn2
=2，由此可推得
an+2
an
=2，所以数列{an}奇数项偶数项均构成等比数列，分段可写出{an}的通项公式；
（2）a=
2
时，{an}为等比数列，可表示出Sn，进而表示出Tn，运用基本不等式可求得数列{Tn}的最大项及相应的n值；
解答：解：（1）
bn+12
bn2
=
an+1an+2
anan+1
=
an+2
an
=2，
又∵a1=1，a2=a（a＞0），
∴an=
(
2
)n-1，n为正奇数
a(
2
)n-2，n为正偶数
．
（2）若a=
2
，则an=(
2
)n-1（n∈N*），则{an}为等比数列，公比为
2
，
所以Sn=
1×[1-(
2
)n]
1-
2
=
1-(
2
)n
1-
2
．
Tn=
17Sn-S2n
an+1
=
1
1-
2
[(
2
)n+
16
(
2
)n
-17]≤
1
1-
2
(8-17)=9(
2
+1)．
等号当且仅当(
2
)n=
16
(
2
)n
，即n=4时取到，
n0=4．
点评：本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式，考查基本不等式求最值，考查学生分析解决问题的能力，属难题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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