Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2．
（Ⅰ）求异面直线AC₁与BC所成的角余弦值；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面AC₁；
（Ⅲ）求二面角B-AC₁-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点C₁，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（2）由BD垂直面AC₁中两相交直线，根据线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；
（3）先找出二面角的平面角，再在直角三角形中求出正切值即可．

解答：解：（Ⅰ）在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC∥B₁C₁
∠AC₁B₁是异面直线AC₁与BC所成的角（2分）
在△AC₁B₁中，AC₁=AB₁=2

3

，
C₁B₁=2

2

，cos∠AC₁B₁=

6

6

故异面直线AC1与BC所成的角的余弦值为

6

6

（4分）
（Ⅱ）因为AD=DC，AB=BC可得BD⊥AC（垂直平分线）（5分）
又CC₁⊥平面ABCD，AC为AC₁平面ABCD上的射影（7分）
所以BD⊥面AC₁（8分）
（Ⅲ）设AC∩BD=O，由（Ⅱ）得BD⊥平面ACC₁，过O作OH⊥AC₁，垂足为
H，连接BH，则BH⊥AC₁，∠OHB为二面角B-AC₁-C的平面角（11分）
在Rt△OBH中，OB=

6

，OH=

6

3

?tan∠OHB=3（13分）
故二面角B-AC₁-C的正切值为3

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．