题目内容

数列数列{a_n}(n∈N^*)中，a₁＝1，且a_n+1＝2an＋1，设b_n＝a_n＋1

(1)证明数列{b_n}是等比数列；

(2)求数列{a_n}的通项公式．

(3)(理科)c_n＝(n∈N^*)，求数列{c_n}的前n项和S_n．

答案：
解析：

　　(1)

　　故数列是以2为公比的等比数列，且

　　(2)由(1)得

　　

　　(3)

　　错位相减法解得

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对于数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N*）；一般地，规定{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n，且k∈N*，k≥2．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式a_n=

n（n∈N*），试证明{△a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N*），求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记b_n=

(n≥2，n∈N*)

，求证：b₁+

（1）求数列an=

(n∈N*)的前n项和S_n．
（2）若T_n为数列{b_n}的前n项和，且Tn=2bn+n2-3n-2，n∈N*，求bn．
（3）在条件（2）下，设cn=

，(n∈N*)M_n为c_n的前n项和，求证：Mn＜

已知函数f（x）=x²+x-6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）．
（1）求α、β的值；
（2）数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=g（a_n），求a_n；
（3）数列{a_n}满足：a1=3，an+1=an-

，(n=1，2，3，…)记bn=ln

，（n=1，2，…），求证数列{b_n}为等比数列，并求{b_n}的前n项和S_n．

以数列{a_n}的任意两项为坐标的点P_n(a_n,a_n+1)(n∈N^*)均在一次函数y=2x+8的图象上,数列{b_n}满足条件:b_n=a_n+1-a_n(n∈N^*,b₁≠0)且a₁=1.

(文)求数列{b_n}的前n项和T_n.

(理)求数列{a_n}的前n项和S_n和数列{b_n}的前n项和T_n.

关于数列有下列四个判断：
①若a，b，c，d成等比数列，则a+b，b+c，c+d也成等比数列；
②若数列{a_n}是等比数列，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n…也成等比数列；
③若数列{a_n}既是等差数列也是等比数列，则{a_n}为常数列；
④数列{a_n}的前n项的和为S_n，且 $数学公式$ ，则{a_n}为等差或等比数列；
⑤数列{a_n}为等差数列，且公差不为零，则数列{a_n}中不会有a_m=a_n（m≠n）．
其中正确命题的序号是________．（请将正确命题的序号都填上）