题目内容

（2012•盐城一模）在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门（该图为轴对称图形），其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长6分米的材料弯折而成，BC边的长为2t分米（1≤t≤
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2
）；曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线（在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=cosx-1），此时记门的最高点O到BC边的距离为h1（t）；曲线C2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为
9
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，此时记门的最高点O到BC边的距离为h2（t）．
（1）试分别求出函数h1（t）、h2（t）的表达式；
（2）要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时，最大值是多少？
分析：（1）对于曲线C1，计算点O到AD的距离为1-cost，AB=DC=3-t，可得函数h1（t）的表达式；对于曲线C2，点O到AD的距离为
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t2，AB=DC=3-t，可得函数h2（t）的表达式；
（2）可判断h1（t）在[1，
3
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]上单调递减，所以当t=1时，h1（t）取得最大值为3-cos1；可判断函数h2（t），当t=
3
2
时，h2（t）取得最大值为
5
2
，比较它们的大小，即可得到结论．
解答：解：（1）对于曲线C1，因为曲线AOD的解析式为y=cosx-1，
所以点D的坐标为（t，cost-1）…（2分）
所以点O到AD的距离为1-cost，而AB=DC=3-t，
则h1(t)=(3-t)+(1-cost)=-t-cost+4(1≤t≤
3
2
)…（4分）
对于曲线C2，因为抛物线的方程为x2=-
9
4
y，即y=-
4
9
x2，
所以点D的坐标为(t，-
4
9
t2)…（2分）
所以点O到AD的距离为
4
9
t2，而AB=DC=3-t，
所以h2(t)=
4
9
t2-t+3(1≤t≤
3
2
)…（7分）
（2）因为h1′(t)=-1+sint＜0，
所以h1（t）在[1，
3
2
]上单调递减，所以当t=1时，h1（t）取得最大值为3-cos1…（9分）
又h2(t)=
4
9
(t-
9
8
)2+
39
16
，而1≤t≤
3
2
，
所以当t=
3
2
时，h2（t）取得最大值为
5
2
…（11分）
因为cos1＞cos
π
3
=
1
2
，
所以3-cos1＜3-
1
2
=
5
2
，
故选用曲线C2，当t=
3
2
时，点E到BC边的距离最大，最大值为
5
2
分米…（14分）
点评：本题重点考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是构建函数模型，考查函数最值的求解，有综合性．
练习册系列答案
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（-2，-1）（或闭区间）
．
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(-∞，
1
e2
]
(-∞，
1
e2
]
．
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3
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(
1
x
+
1
y
+
1
z
)≤
1
x2
+
1
y2
+
1
z2
．
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2
cos(θ-
π
4
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x=t+1
y=t-1
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