Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=，右准线方程为x=2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点F₁的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线l的方程式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右准线方程为x=2，建立方程，利用b²=a²-c²，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁（-1，0），F₂（1，0），先判断直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立，消元表示出x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2），用坐标表示出向量，利用，即可求得直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意，∵椭圆离心率为，右准线方程为x=2．
∴，
∴a=，c=1
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁（-1，0），F₂（1，0）
若直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x=-1，将x=-1代入椭圆方程可得y=
不妨设M（-1，），N（-1，），∴
∴，与题设矛盾，∴直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），与椭圆方程联立，消元可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=
∴
∴=+==
∵
∴
∴40k⁴-23k²-17=0
∴k²=1（负值舍去）
∴k=±1
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1．
点评：本题考查椭圆的性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求解．