Question

已知f（x）=log_a（ka^x+1-a），（a＞1，k∈R）．
（1）当k=1时，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间[0，10]上总有意义，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当k=1时，我们易根据f（x）=log_a（ka^x+1-a）得到函数的解析式，根据对数式的真数必须大于0，我们可以构造一个指数不等式，结合a＞1，解指数不等式即可得到f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间[0，10]上总有意义，即ka^x+1-a＞0对于x∈[0，10]时恒成立，根据指数函数的性质，解不等式即可得到k的取值范围．

解答：解：（1）解a^x+1-a＞0，即a^x+1＞a，…（2分）
因为a＞1，所以x＞0，f（x）的定义域为{x|x＞0}．…（4分）
（2）令ka^x+1-a＞0，即k＞(

1

a

)x，…（6分）
由于a＞1，所以0＜

1

a

＜1，又上式对于x∈[0，10]时恒成立，
所以k应大于(

1

a

)x的最大值，…（8分）
因为x∈[0，10]，所以(

1

a

)x的最大值为1，
所以k＞1，即k的取值范围是{k|k＞1}．…（10分）

点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，函数恒成立问题，其中（1）的关键是构造一个指数不等式，（2）的关键是根据已知，得到ka^x+1-a＞0对于x∈[0，10]时恒成立．