Question

3．已知函数f（x）=asinx+bcosx，若f（x）≤f（$\frac{π}{4}$）对x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间为[2k$π-\frac{3π}{4}$，2k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z  （k∈Z）

Answer 1

分析 由题意，当x=$\frac{π}{4}$时，函数f（x）取得最值f（$\frac{π}{4}$），即$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，化为a=b，从而可求f（x）=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：∵由题意函数f（x）=asinx+bcosx，恒有f（x）≤f（$\frac{π}{4}$），
∴可知：当x=$\frac{π}{4}$时，函数f（x）取得最大值f（$\frac{π}{4}$），即$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，从而可知a、b均为正值，
化为a=b，
∴则f（x）=a（sinx+cosx）=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得（x）的单调递增区间为：[2k$π-\frac{3π}{4}$，2k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z．
故答案为：[2k$π-\frac{3π}{4}$，2k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．