题目内容
14.关于x的方程22x-m2x+4=0(x<0)有解,求实数m的取值范围.分析 令t=2x,则原方程化为t2-mt+4=0(0<t<2),分离参数得到m=t+$\frac{4}{t}$,构造函数,利用导数求出函数在(0,2)上的单调性,即可求出m的取值范围
解答 解:令t=2x,
∵x<0,
∴1<t<2,
则原方程化为t2-mt+4=0(0<t<2),
∴m=t+$\frac{4}{t}$,
设f(t)=t+$\frac{4}{t}$,
∴f′(t)=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}}$,
当f′(t)>0,解得t>2或t<-2,
当f′(t)<0,解得-2<t<2,
∵0<t<2,
∴函数f(t)在(0,2)上单调递减,
∴f(2)<f(t)<f(0),
∴4<f(t)<+∞,
∴4<m<+∞,
故m的取值范围为(4,+∞).
点评 本题考查了导数和函数的单调性质的关系,以及参数的取值范围,分离参数,求导,判断单调性是关键,属于中档题.
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