Question

在平面直角坐标系中，点P到两圆C₁与C₂的圆心的距离之和等于4，其中C₁：，C₂：. 设点P的轨迹为．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C交于A，B两点．问k为何值时？此时的值是多少？

Answer 1

(1)   (2)

解析试题分析：
(1) 通过配方把圆和圆的普通方程化为标准方程,得到圆心的坐标,根据椭圆的定义可以判断C点轨迹为椭圆,其中两个圆的圆心为焦点可得且椭圆的焦点在y轴上,根据题意,李永刚之间的关系即可求出的值,进而得到C的方程.
(2)联立直线与椭圆的方程消元得到二次方程,二次方程的根AB两点的横坐标,利用二次方程根与系数的关系得到AB两点横坐标之间的关系,利用得到AB横纵坐标之间的关系即可求出k的值,再利用椭圆的弦长公式即可求出的长度.
试题解析：
（1）由已知得两圆的圆心坐标分别为.      （1分）
设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴长为2的椭圆．                                                      （2分）
它的短半轴长，                              （3分）
故曲线C的方程为．                                   （4分）
（2）设，其坐标满足 
消去y并整理得，                         （5分）
∵， ，∴，
故．                          （6分）
又              （7分）
于是．       （8分）
令，得.                                   （9分）
因为，
所以当时，有，即.                （10分）
当时，，．                   （11分）
，           （12分）
而，        （13分）
所以．                                          （14分）
考点：弦长 内积 椭圆定义 圆