Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面为菱形，．

（1）证明：；

（2）若，，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）.

【解析】

（1）连接，交于点，连接，证明且平分得到答案.

（2）为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标，计算相应点坐标，计算法向量，利用二面角公式计算得到答案.

证明：（1）连接，交于点，连接，

因为侧面为菱形，

所以，

且为与的中点，

又，,

所以平面.

由于平面，

故.

又，

故.

（2）因为，且为的中点，

所以，

又因为，

所以，

故，

从而两两相互垂直，为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标，

因为，

所以为等边三角形，

设，

则，

，

设是平面的法向量，则

，

即，

所以.

设是平面的法向量，

则，

同理可取，

，

所以二面角的余弦值为-.