Question

2．设函数h（x）=f（x）g（x），g（x）=f（x+a），a为常数，a∈[0，π]，设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个a值，使得h（x）=cos2x．你设计的f（x）=sinx+cosx，a=$\frac{π}{2}$（写出满足题意的一种情况即可）

Answer 1

分析 令 f（x）=sinx+cosx，α=$\frac{π}{2}$，或令 f（x）=1+$\sqrt{2}$sinx，α=π，验证可得．

解答 解：令 f（x）=sinx+cosx，α=$\frac{π}{2}$，
则g（x）=f（x+$\frac{π}{2}$）=sin（x+$\frac{π}{2}$）+cos（x+$\frac{π}{2}$）=cosx-sinx，
∴h（x）=f（x）f（x+$\frac{π}{2}$）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos2x．
另解：令 f（x）=1+$\sqrt{2}$sinx，α=π，
则 g（x）=f（x+π）=1+$\sqrt{2}$sin（x+π）=1-$\sqrt{2}$sinx，
于是h（x）=f（x）f（x+π）=（1+$\sqrt{2}$sinx）（1-$\sqrt{2}$sinx）=cos2x．
故答案为：sinx+cosx，$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查根据函数的新定义求函数的解析式，考查学生的运算和推理能力，属于中档题．