Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点。

(1)证明PA平面BDE；
(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?
证明你的结论。

Answer 1

见解析

(1)以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，=(2,0,-2)，=(0,1,1)，=(2,2,0)。
设=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，
则由，得；取x=-1，=(1,-1,1)，
∵·=2-2=0，∴⊥，又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE。
(2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,又==(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。
设二面角B-DE-C的平面角为θ,由图可知θ=<,>，
∴ cosθ=cos<,>=，
故二面角B-DE-C余弦值为。
(3)∵=(2,2,-2)，=(0,1,1)，∴·=0+2-2=0，∴PB⊥DE。
假设棱PB上存在点F，使PB平面DEF，设=λ (0＜λ＜1)，
则 =(2λ, 2λ,-2λ)，=+=(2λ, 2λ,2-2λ)，
由·="0" 得 4λ² +4λ²-2λ(2-2λ)=0，
∴ λ= (0,1)，此时PF=PB，                       
即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF。