Question

如图13,已知AB为半圆O的直径,AP为过点A的半圆的切线,在上任取一点C(点C与A、B不重合),过点C作半圆的切线CD交AP于点D;过点C作CE⊥AB,垂足为E,连结BD,交CE于点F.

         

(1)　　                   (2)

图13

(1)当点C为的中点时(如图13(1)),求证:CF =EF;

(2)当点C不是的中点时(如图13(2)),试判断CF与EF的相等关系是否保持不变,并证明你的结论.

Answer 1

思路分析:第(1)题E与O重合,只需证明四边形DAEC为矩形,CD∥AB即可.?

(2)由(1)的结论猜测CF =EF仍然成立.然后再设法证明.

证明:(1)∵DA是切线,AB为直径,∴DA⊥AB.?

∵点C是的中点,且CE⊥AB,?

∴CE过圆心.∴点E为半圆的圆心.?

又∵DC是切线,∴DC⊥EC.?

∴四边形DAEC为矩形.?

∴CE∥AD且CE =AD.?

∴= =,即 =,?

∴F为EC的中点,即CF =EF.?

(2)CF =EF仍然成立.证明如下:?

连结BC并延长交AP于G点,连结AC.?

∵AD、CD是半圆的切线,?

∴DC=DA.∴∠DAC=∠DCA.?

∵AB为直径,?

∴∠ACB =90°,∠ACG =90°,∠G+∠DAC =∠DCA +∠DCG =90°.?

∴∠G = ∠DCG.?

在△GDC中,GD =DC,又∵DC =DA,∴GD =DA.?

∵AP是半圆O的切线,?

∴AP⊥AB.又CE⊥AB,∴CE∥AP.?

∴= =.?

又GD =AD,∴CF =EF.