Question

2．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．过点F₁的直线l与C交于A、B两点，且△ABF₂周长为$4\sqrt{3}$，那么C的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$
• B． $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$
• C． $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$

Answer 1

分析 由题意画出图形并求得a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．

解答 解：如图，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$．

∵△ABF₂周长为$4\sqrt{3}$，∴4a=$4\sqrt{3}$，得a=$\sqrt{3}$．
又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴c=1．
则b²=a²-c²=2．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．