Question

（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足．
（Ⅰ）求点P的轨迹的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点M，试探
究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由．

Answer 1

（1）（且）；（2）点M的横坐标为定值．

第一问利用已知的斜率关系式，设点的坐标代入即可得到轨迹方程。
第二问中，由由可知直线，则，然后设出点P,Q的坐标，然后表示一个关系式，然后利用由三点共线可知，同理得到关系式，联立解得。
解：（Ⅰ）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得

，　　…………2分
整理得轨迹的方程为（且），                    …………4分
（Ⅱ）设，
由可知直线，则，
故，即，　　…………6分
由三点共线可知，与共线，
∴　，
由（Ⅰ）知，故，              …………8分
同理，由与共线，
∴　，即，
由（Ⅰ）知，故，                  …………10分
将，代入上式得，
整理得，
由得，即点M的横坐标为定值．         ………………………12分
（方法二）
设
由可知直线，则，
故，即，　　                         …………6分
∴直线OP方程为：   ①；　                        　 …………8分
直线QA的斜率为：，　　            
∴直线QA方程为：，即  ②；……10分
联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．　  ………………………12分