Question

9．已知数列{b_n}满足b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，其中a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$．
（1）求b₁，b₂，b₃，并猜想b_n的表达式（不必写出证明过程）；
（2）由（1）写出数列{b_n}的前n项和S_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）由已知结合数列递推式求得b₁，b₂，b₃，并猜想b_n的表达式；
（2）由等比数列的前n项和公式求得数列{b_n}的前n项和S_n，并用数学归纳法证明．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，∴${a}_{2}=\frac{2}{3}$，${a}_{3}=\frac{6}{5}$，
又b_n=|$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-1}$|，得b₁=4，b₂=8，b₃=16，
猜想：${b}_{n}={2}^{n+1}$；
（2）由（1）可得，数列{b_n}是以4为首项，2为公比的等比数列，
则有${S}_{n}=\frac{4×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n+2}-4$．
证明：当n=1时，${S}_{1}={2}^{1+2}-4=4$成立；
假设当n=k时，有${S}_{k}={2}^{k+2}-4$，
则当n=k+1时，${S}_{k+1}={S}_{k}+{b}_{k+1}={2}^{k+2}-4+{2}^{k+2}$=2^k+3-4=2^（k+1）+2-4．
综上，${S}_{n}={2}^{n+2}-4$成立．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比数列的前n项和，训练了利用归纳法证明数列等式，是中档题．