Question

18．如图欲在直角区域ABC内的空地上植造一块“绿地Rt△ABD”，D在BC边上．其中AB=1，设BD=x（x＞0）且BC足够长，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，种草的面积为S₁，种花的面积为S₂，比值$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$称为“完美度”．
（1）用x表示出S₂；
（2）求完美度f（x）=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最小值且此时x的值．

Answer 1

分析 （1）设正方形BEFG的边长为t，利用三角形的相似求出S₂；
（2）求出S₁；$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{（1+x）^{2}}{2x}$-1=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$≥1，即可得出结论．

解答 解：（1）设正方形BEFG的边长为t，
则由$\frac{FG}{AB}=\frac{DG}{DB}$得$\frac{t}{1}=\frac{x-t}{x}$，∴t=$\frac{x}{1+x}$，…（4分）
∴S₂=$\frac{{x}^{2}}{（1+x）^{2}}$；…（6分）
（2）S₁=$\frac{1}{2}x$-S₂，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{（1+x）^{2}}{2x}$-1=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$≥1，…（10分）
当且仅当x=1时取等号，此时完美度f（x）=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最小值是1．…（12分）

点评 本题考查解三角形的实际应用，基本不等式的应用，考查计算能力．