Question

【题目】函数f（x），若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）

A.B.（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）

C.（﹣∞，﹣1）∪{1}D.（﹣1，0）∪{1}

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用的导函数判断出的单调区间，由此画出的大致图像，令，对的取值进行分类讨论，结合的图像以及方程有四个不相等的实数根列不等式，解不等式求得的取值范围.

当x≥0时，，

所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

且f（0）＝0，当x→+∞时，f（x）→0，当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x）的图象如图所示：

令t＝f（x），则由上图可知当t＝0或1时，方程t＝f（x）有两个实根；

当t∈（0，1）时，方程t＝f（x）有3个实数根；

当t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，方程t＝f（x）有一个实数根，

所以关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根

等价于关于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），

当t1＝0，t2＝1时，a＝1，

当t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，（02﹣a×0+a﹣a2）（12﹣a×1+a﹣a2）＜0，解得﹣1＜a＜0，

综上所述，a∈（﹣1，0）∪{1}.

故选：D.