题目内容

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5得，f′（x）=3x2+2ax+b，
∴y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：
y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y-（a+b+6）=（3+2a+b）（x-1），
整理得y=（3+2a+b）x+3-a．
又∵y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴
3+2a+b=3
3-a=1
，解得
a=2
b=-4
，
∴a=2，b=-4．
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-4x+5，
f'（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=0，得x=
2
3
或x=-2．
当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：
x -3 （-3，-2） -2 (-2，
2
3
)
2
3
 (
2
3
，1)		 1
f'（x） + - +
f（x） 8 增 极大值 减 极小值 增 4
∴f（x）的极大值为f（-2）=13，极小值为f(
2
3
)=
95
27
，
又∵f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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