Question

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点K(-1，0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
(Ⅰ)证明：点F在直线BD上；
(Ⅱ)设，求△BDK的内切圆M的方程。

Answer 1

解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，D(x₁，-y₁)，
l的方程为x=my-1(m≠0)，
(Ⅰ)将x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，
从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，① 
直线BD的方程为，即，
令y=0，得，
所以点F(1，0)在直线BD上．
(Ⅱ)由①知，x₁+x₂=(my₁-1)+(my₂-1)=4m²-2，x₁x₂=(my₁-1)(my₂-1)=1，
因为，
(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=x₁x₂-(x₁+x₂)+1+4=8-4m²，故，解得，
所以l的方程为3x+4y+3=0，3x-4y+3=0，
又由①知，，
故直线BD的斜率，
因而直线BD的方程为，
因为KF为∠BKD的平分线，
故可设圆心M(t，0)(-1＜t＜1)，
M(t，0)到l及BD的距离分别为，
由，得或t=9（舍去），
故圆M的半径，
所以圆M的方程为。