题目内容
把离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”，如图的两个相似椭圆，分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，且q（q＞1）是这两个椭圆长轴的长的比值，那么q=| 2 |
| 2 |
分析：设外椭圆的方程为
+
=1（m＞n＞0），内椭圆的方程为
+
=1（a＞b＞0），利用e=
=
结合合比定理即可求得q．
| x2 |
| m2 |
| y2 |
| n2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| c1 |
| m |
| c2 |
| a |
解答：解：设外椭圆的方程为
+
=1（m＞n＞0），c1为其半焦距，
内椭圆的方程为
+
=1（a＞b＞0），c2，
∵两椭圆的离心率相等，
∴e=
=
，
∴
=
，
∴(
)2=(
)2=
=
，
∴
=
=
，①
依题意P（a，b）为外椭圆为
+
=1上的点，
∴
+
=1②
由①②得：2
=1，
∴
=
，
=2，
∴
=
．即q=
=
=
．
故答案为：
．
| x2 |
| m2 |
| y2 |
| n2 |
内椭圆的方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵两椭圆的离心率相等，
∴e=
| c1 |
| m |
| c2 |
| a |
∴
| m |
| a |
| c1 |
| c2 |
∴(
| m |
| a |
| c1 |
| c2 |
| m2-c12 |
| a2-c22 |
| n2 |
| b2 |
∴
| m |
| a |
| c1 |
| c2 |
| n |
| b |
依题意P（a，b）为外椭圆为
| x2 |
| m2 |
| y2 |
| n2 |
∴
| a2 |
| m2 |
| b2 |
| n2 |
由①②得：2
| a2 |
| m2 |
∴
| a2 |
| m2 |
| 1 |
| 2 |
| m2 |
| a2 |
∴
| m |
| a |
| 2 |
| 2m |
| 2a |
| m |
| a |
| 2 |
故答案为：
| 2 |
点评：本题考查椭圆的简单性质，考查转化思想与运算能力，考查合分比定理，属于难题．
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