Question

把离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”，如图的两个相似椭圆，分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，且q（q＞1）是这两个椭圆长轴的长的比值，那么q=________．

Answer 1

分析：设外椭圆的方程为+=1（m＞n＞0），内椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），利用e==结合合比定理即可求得q．
解答：设外椭圆的方程为+=1（m＞n＞0），c₁为其半焦距，
内椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），c₂，
∵两椭圆的离心率相等，
∴e==，
∴=，
∴===，
∴==，①
依题意P（a，b）为外椭圆为+=1上的点，
∴+=1②
由①②得：2=1，
∴=，=2，
∴=．即q===．
故答案为：．
点评：本题考查椭圆的简单性质，考查转化思想与运算能力，考查合分比定理，属于难题．