Question

在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知,.

（1）求证：平面；
（2）求证：∥平面；
（3）设点在内（含边界）,且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点在线段上，的最小值．

试题分析：（1）求证：平面，证明线面垂直，即证线线垂直，即在平面找两条相交直线与垂直，由于底面为菱形，则，又底面，得底面，即，从而得证；（2）求证：∥平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到是的中点，连接,交于点，连接，证得四边形是平行四边形，从而得∥，从而可证∥平面.；（3）连接，则，又在中，,又为中点，所以，得平面，由已知可知，∥，由，得，故点一定在线段上，这样就得到点的轨迹，进而可得的最小值.
试题解析：（1）依题意, 因为四棱柱中，底面，
所以底面.
又底面,所以.
因为为菱形，所以.而，所以平面.       4分
（2）连接,交于点，连接.依题意，∥,且，,
所以为矩形.所以∥.又,,,
所以=，所以为平行四边形，则∥.
又平面，平面,
所以∥平面.                                         9分

（3）在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点.
分析如下：连接，则.
由于∥,故欲使，只需,从而需.
又在中，,又为中点，所以.
故点一定在线段上.当时，取最小值.
在直角三角形中，,,,
所以.                                14分