Question

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2,侧棱长为3,E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C.

Answer 1

证明：把正四棱柱如下图放置在坐标系中，则各点坐标为A(,0,0),C(0, ,0),?B₁(,,),D₁(0,0,),E(, ,),F(,,).假设平面AB₁C的法向量为n₁=(1,λ₁,μ₁),则n₁应垂直于和.而=(-,,0), =(0, ,),?

∴n₁=-+λ₁=0及n₁=λ₁+μ₁=0.?

∴λ₁=1,μ₁=-.?

∴n₁=(1,1,- ).?

再假设平面D₁EF的法向量为n₂=(1,λ₂,μ₂),则n₂应垂直于、,而=(, ,-),=(,,-),?

∴n₂=+λ₂-μ₂=0,?

n₂=+λ₂-μ₂=0.?

∴λ₂=1,μ₂=.?

∴n₂=(1,1, ).?

由于n₁n₂=1+1-=1+1-2=0,?

∴n₁⊥n₂.因此平面D₁EF⊥平面AB₁C.