Question

已知α为第三象限的角，cos2α=-

3

5

，则tan(

π

4

+2α)=

 

Answer 1

分析：方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又cos2α=-

3

5

＜0确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．
方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同．

解答：解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），
又cos2α=-

3

5

＜0，所以2α∈(

π

2

+2(2k+1)π，π+2(2k+1)π)(k∈Z)，
于是有sin2α=

4

5

，tan2α=

sin2α

cos2α

=-

4

3

，
所以tan(

π

4

+2α)=

tan π 4 +tan2α

1-tan π 4 tan2α

=

1- 4 3

1+ 4 3

=-

1

7

．
方法二：α为第三象限的角，cos2α=-

3

5

，2kπ+π＜α＜2kπ+

3

2

π?4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π?2α在二象限，sin2α=

4

5

tan(

π

4

+2α)=

sin( π 4 +2α)

cos( π 4 +2α)

=

sin π 4 cos2α+cos π 4 sin2α

cos π 4 cos2α-sin π 4 sin2α

=

cos2α+sin2α

cos2α-sin2α

=-

1

7

点评：本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．